एक दीर्घवृत्त एक वृत्त के भीतर स्थित है और वृ | vedclass

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Question

(B) माना वृत्त की त्रिज्या $R = a$ है (जहाँ $a$ दीर्घवृत्त का अर्ध-दीर्घ अक्ष है)। वृत्त का क्षेत्रफल $A_c = \pi a^2$ है। अंतर्निहित दीर्घवृत्त का क्ष

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$12$

Vedclass · Answer

(B) माना वृत्त की त्रिज्या $R = a$ है (जहाँ $a$ दीर्घवृत्त का अर्ध-दीर्घ अक्ष है)। वृत्त का क्षेत्रफल $A_c = \pi a^2$ है। अंतर्निहित दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A_e = \pi a b'$ है,जहाँ $b'$ अर्ध-लघु अक्ष है। वृत्त के अंदर चुने गए बिंदु के दीर्घवृत्त के बाहर होने की प्रायिकता $P = 1 - \frac{A_e}{A_c} = 1 - \frac{\pi a b'}{\pi a^2} = 1 - \frac{b'}{a} = \frac{2}{3}$ है। इससे $\frac{b'}{a} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है,अर्थात $b' = \frac{a}{3}$। दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{(b')^2}{a^2}} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ है। $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ से तुलना करने पर,$a=2, b=2, c=3$ प्राप्त होता है। अतः $a \cdot b \cdot c = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$।

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